Konrad Gruszkowski urodził się w 27 stycznia 2001 w Rabce Zdrój. Pierwsze kroki stawiał w pobliskim Turbaczu Mszana Dolna, gdzie jako junior spędził kilka sezonów. W 2016 roku trafił do Progresu Kraków, a dwa lata później podpisał kontrakt z Wisła Kraków.
Debiut w drużynie Wisły Kraków Konrad Gruszkowski zaliczył 18 października 2020 roku w meczu wyjazdowym ze Stalą Mielec. Wisła wygrała ten mecz 6-0.
Pierwszą bramkę dla Wisły Kraków Konrad Gruszkowski zdobył 16 maja 2021 roku w meczu z Piastem Gliwice. Bramka została jednak zaliczona jako samobójcza gdyż po strzale naszego obrońcy jeszcze zmieniła kierunek.
Naprawdę pierwszą bramkę, dla Wisły Kraków prawy obrońca zdobył w wyjazdowym meczu z Zagłębiem Lubin 11 grudnia 2021 roku. Gol padł po podaniu Aschrafa El Mahdiouiego, ale niestety nie dał Białej Gwieździe nawet punktu.
Konrad Gruszkowski jest od dziecka kibicem Wisły Kraków o czym mówił w wywiadzie dla „Gazety Krakowskiej”.
– W Mszanie wszyscy kibicują Wiśle, więc to przyszło zupełnie naturalnie – mówi Konrad Gruszkowski. – Zaczynałem grać w piłkę z Turbaczu Mszana Dolna i trener organizował nam wyjazdy do Krakowa na mecze Wisły. Tak zaczęło się takie jeszcze mocniejsze kibicowanie temu klubowi.
– Są w drużynie piłkarze, których wtedy oglądałem, jak choćby Maciej Sadlok czy Rafał Boguski – dodaje Konrad Gruszkowski. – Moim największym idolem w tamtym okresie był jednak Arkadiusz Głowacki. Życie tak się później potoczyło, że to on mocno walczył o to, żebym trafił do Wisły. Przekonywał moich menedżerów, również władze klubu, że warto na mnie postawić, zainwestować we mnie.
W czerwcu 2023 roku Konrad Gruszkowski podpisał kontrakt ze słowacką drużyną